Теорема.
(2-й признак ромба)
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.
Дано:
ABCD — параллелограмм,
AC- диагональ,
AC — биссектриса углов BAD и BCD.
Доказать:
ABCD — ромб.
Доказательство:
1) ∠BAD=∠BCD (по свойству противолежащих углов параллелограмма).
2) Так как AC — биссектриса углов BAD и BCD (по условию), то
∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA.
3) Так как в треугольнике ABC два угла равны (∠BAC=∠BCA), то треугольник ABC- равнобедренный с основанием AC (по признаку).
Следовательно, AB=BC.
4) Аналогично, треугольник ADC — равнобедренный с основанием AC и AD=DC.
5) По свойству противолежащих сторон параллелограмма,
AB=CD, BC=AD.
6) Таким образом, ABCD — параллелограмм (по условию) и
AB=CD=BC=AD (по доказанному).
Следовательно, ABCD — ромб (по определению).
Что и требовалось доказать.