Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции

Рассмотрим два полезных свойства, которыми обладают биссектрисы углов при боковой стороне трапеции.

Утверждение 1.

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

CO — биссектриса ∠BCD,

DO — биссектриса ∠ADC.

Доказать:∠COD=90º.

Доказательство:

∠ADC+∠BCD=180º (как внутренние односторонние углы при AD ∥ BC  и секущей CD).

Так как CO — биссектриса ∠BCD, то

   

Так как DO — биссектриса ∠ADC,

   

Следовательно,

   

   

По теореме о сумме углов треугольника

   

Отсюда,

   

   

Что и требовалось доказать.

 

Утверждение 2.

Биссектрисы углов при боковых сторонах трапеции пересекаются в точке,  лежащей на средней линии трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

CO — биссектриса ∠BCD,

DO — биссектриса ∠ADC,

MN — средняя линия трапеции.

Доказать: O ∈ MN.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник COD — прямоугольный (по доказанному утверждению 1).

Проведем из вершины прямого угла COD медиану ON.

По свойству медианы, проведенной к гипотенузе,

   

2) Так как ON=CN, треугольник OCN — равнобедренный с основанием OC.

Следовательно,

   

(как углы при основании равнобедренного треугольника).

Так как CO — биссектриса ∠BCD, 

   

Значит,

   

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при ON и BC и секущей OC, то ON ∥ BC (по признаку параллельности прямых).

Имеем: прямая ON параллельна основанию трапеции BC и проходит через середину боковой стороны CD. Следовательно, эта прямая содержит среднюю линию трапеции. Таким образом, точка O лежит на средней линии трапеции.

Что и требовалось доказать.