Биссектриса трапеции

Утверждение

Биссектриса угла трапеции, пересекающая основание, отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.

Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

AF — биссектриса ∠BAD.

Доказать: треугольник ABF — равнобедренный.

Доказательство:

1) ∠BAF=∠DAF (так как AF — биссектриса ∠BAD по условию)

2) ∠BFA=∠DAF (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AF)

3) Следовательно, ∠BAF=∠BFA

4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку).

Значит, AB=BF.

Что и требовалось доказать.

Если биссектриса угла трапеции пересекает не основание трапеции, а прямую, содержащую основание, то она отсекает равнобедренный треугольник на продолжении этой прямой.

 Таким образом, биссектриса угла трапеции отсекает на ее основании или продолжении основания отрезок, равный боковой стороне:

BF=AB.