Если диагональ трапеции — биссектриса ее угла, что можно сказать о такой трапеции?
Это зависит от того, биссектрисой какого угла является диагональ.
Утверждение 1
Если диагональ трапеции является биссектрисой ее острого угла, то меньшее основание равно боковой стороне трапеции, прилежащей к этому углу.
Дано: ABCD — трапеция,
AD ∥ BC,
AC — биссектриса ∠BAD.
Доказать: BC=AB.
Доказательство:
1) ∠BAC=∠DAC (так как AC — биссектриса ∠BAD по условию)
2) ∠BCA=∠DAC (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC)
3) Значит, ∠BAC=∠BCA
4) Таким образом, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по признаку).
Следовательно, AB=BF.
Что и требовалось доказать.
Утверждение 2
Если диагональ трапеции является биссектрисой ее тупого угла, то большее основание равно боковой стороне трапеции, прилежащей к этому углу.
Дано: ABCD — трапеция,
AD ∥ BC,
BD — биссектриса ∠ABC.
Доказать: AD=AB.
Доказательство:
1) ∠ABD=∠CBD (так как BD — биссектриса ∠ABC по условию).
2) ∠ADB=∠CBD (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BD).
3) Следовательно, ∠ABD=∠ADB.
4) Значит, треугольник ABD — равнобедренный с основанием BD (по признаку).
5) Отсюда, AD=AB.
Что и требовалось доказать.
Утверждение 3
Если диагональ трапеции является биссектрисой ее прямого угла, меньшее основание трапеции равно ее меньшей боковой стороне.
Если AC — биссектриса ∠BAD, то
AB=BC.
Доказательство — аналогично доказательству утверждения 1.