По сторонам треугольника найти его медиану

Рассмотрим задачу, в которой требуется по сторонам треугольника найти его медиану.

Задача.

Даны стороны треугольника. Найти длину медианы, проведенной к наибольшей стороне.

po storonam treugolnika nayti ego medianuДано: ∆ ABC,

BC=a, AC=b, AB=c,

сторона AC — наибольшая,

BO- медиана.

Найти: BO.

Решение:

po storonam treugolnika nayti medianu

 

1) На луче BO отложим отрезок OD, OD=BO.

 

 

nayti medianu treugolnika po ego storonam

 

2) Проведем отрезки AD и CD.

 

 

3) Рассмотрим четырехугольник ABCD.

AO=CO (так как BO — медиана треугольника ABC по условию);

BO=DO (по построению).

Так как диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку).

4) По свойству диагоналей параллелограмма,

    \[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})\]

    \[{b^2} + B{D^2} = 2({a^2} + {c^2})\]

    \[B{D^2} = 2({a^2} + {c^2}) - {b^2}\]

    \[BD = \sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} \]

так как BO=1/2 BD (по построению),

    \[\underline {BO = \frac{1}{2}\sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} .} \]

Если ввести обозначение

    \[BO = {m_b},\]

формула для нахождения медианы треугольника по его сторонам примет вид:

    \[{{m_b} = \frac{1}{2}\sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} }\]

 

Запоминать эту формулу не обязательно. При решении конкретной задачи следует привести все рассуждения.

Если медиана проведена не к наибольшей, а к наименьшей либо средней по величине стороне, решение задачи аналогично.

Соответственно, формулы для нахождения длины медианы в этих случаях:

    \[{m_a} = \frac{1}{2}\sqrt {2({b^2} + {c^2}) - {a^2}} \]

    \[{m_c} = \frac{1}{2}\sqrt {2({a^2} + {b^2}) - {c^2}} \]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>