Медиана к боковой стороне равнобедренного треугольника

Как и при нахождении медианы произвольного треугольника по трем его сторонам, медиана  боковой стороны равнобедренного треугольника может быть найдена с помощью дополнительного построения.

Задача.

Основание равнобедренного треугольника равно 8√2 см, а боковая сторона — 12 см. Найти длину медианы треугольника проведенной к боковой стороне.

Mediana bokovoy storonyi ravnobedrennogo treugolnikaДано: ∆ ABC,

AB=BC=12 см,

AC=8√2 см,

AO — медиана.

Найти: AO.

Решение:

Mediana k bokovoy storone ravnobedrennogo treugolnika

 

1) На луче AO отложим отрезок OD, OD=AO.

 

 

Mediana ravnobedrennogo treugolnika k bokovoy storone

 

2) Соединим точку D с точками B и C.

 

 

3) Рассмотрим четырехугольник ABDC.

BO=CO (так как AO — медиана треугольника ABC по условию);

AO=DO (по построению).

Так как диагонали четырехугольника ABDC в точке пересечения делятся пополам, то ABDC — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма,

    \[A{D^2} + B{C^2} = 2(A{B^2} + A{C^2})\]

    \[A{D^2} + {12^2} = 2({12^2} + {(8\sqrt 2 )^2})\]

    \[A{D^2} = {12^2} + 64 \cdot 2\]

    \[A{D^2} = {12^2} + 2 \cdot 64 \cdot 2\]

    \[A{D^2} = 400\]

    \[AD = 20\]

    \[AO = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10(cm)\]

Ответ: 10 см.

 

Mediana k bokovoy storone

 

Если ввести обозначение AC=a, AB=BC=b, то получим формулу для нахождения медианы равнобедренного треугольника, проведенной к боковой стороне:

    \[A{D^2} + {b^2} = 2({a^2} + {b^2})\]

    \[A{D^2} = 2{a^2} + {b^2}\]

    \[AD = \sqrt {2{a^2} + {b^2}} \]

    \[AO = \frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + {b^2}} \]

    \[AO = {m_b}, \Rightarrow \underline {{m_b} = \frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + {b^2}} } \]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>