Высота прямоугольного треугольника |

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным способом в зависимости от данных в условии задачи.

vyisota pryamougolnogo treugolnika Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле

$AK = \sqrt {BK \cdot KC}$

или, в другой записи,

$A{K^2} = BK \cdot KC,$

где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).

Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника

$S = \frac{1}{2}a \cdot {h_a}$

(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AK.$

Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:

$AK = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}}.$

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC,$

$AK = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2}AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}}.$

То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде

${h_c} = \frac{{ab}}{c}.$

Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:

${h_c} = \frac{{ab}}{{2R}}.$

Поскольку проведенная к гипотенузе высота образует еще два прямоугольных треугольника, ее длину можно найти через соотношения в прямоугольном треугольнике.

Из прямоугольного треугольника ABK

$AK = AB \cdot \sin \angle B$

$AK = BK \cdot tg\angle B$

Из прямоугольного треугольника ACK

$AK = AC \cdot \sin \angle C$

$AK = KC \cdot tg\angle C.$

Длину высоты прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов. Так как

${h_c} = \frac{{ab}}{c},$

по теореме Пифагора

${c^2} = {a^2} + {b^2}$

${h_c} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$

Если возвести в квадрат обе части равенства:

${h_c}^2 = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}},$

можно получить еще одну формулу для связи высоты прямоугольного треугольника с катетами:

$\frac{1}{{{h_c}^2}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}.$

Высота прямоугольного треугольника

2 Comments

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Навигация по сайту

Рубрики