Какой вывод можно сделать из того, что медиана треугольника является его высотой?
Утверждение.
Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник — равнобедренный.
Дано:
∆ ABC,
CF — высота и медиана
Доказать:
∆ ABC — равнобедренный.
Сначала наметим план доказательства. Что означает, что треугольник равнобедренный? Это значит, что у него две стороны равны. Значит, нам надо доказать, что в ∆ ABC две стороны равны: AC=BC. Равенство сторон следует из равенства треугольников. Следовательно, нам нужно будет доказать равенство двух треугольников. Каких? ∆ AFC и ∆ BFC.
Что нам известно их условия задачи? CF — высота, значит, СF перпендикулярна AB, поэтому углы AFC и BFC — прямые.
Еще знаем, что CF — медиана. Значит, она делит стороны AB на две равные части: AF=BF. Таким образом, два пункта из трех для доказательства равенства треугольников уже есть.
Выделим треугольники разными цветами.
Этот прием позволяет увидеть, что сторона СF — общая.
Три пункта есть.
Переходим к записи доказательства.
Доказательство:
Рассмотрим ∆ AFC и ∆ BFC.
1) ∠AFC=∠BFC=90º (так как CF — высота треугольника ABC по условию).
2) AF=BF (так как CF — медиана треугольника ABC по условию).
3) Сторона CF — общая.
Следовательно, ∆ AFC = ∆ BFC (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).
Что и требовалось доказать.
Если в треугольнике все высоты и медианы совпадают, то треугольник — равносторонний (каждые две стороны между собой равны, следовательно, равны все три стороны).