Чему равен внешний угол равнобедренного треугольника? Какие у него свойства?
Как и для всякого треугольника, внешний угол при любой вершине равнобедренного треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Помимо этого, внешние углы равнобедренного треугольника имеют свои свойства.
Утверждение 1.
Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника в два раза больше внутреннего угла при его основании.
Дано: ∆ ABC, AC=BC,
∠BCF — внешний угол при вершине C.
Доказать: ∠BCF=2∠A.
Доказательство:
Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то
∠BCF=∠A+∠B.
Поскольку ∠A=∠B (как углы при основании равнобедренного треугольника), то
∠BCF=2∠A.
Что и требовалось доказать.
Утверждение 2.
Внешний угол при основании равнобедренного треугольника на 90º больше половины внутреннего угла при его вершине.
Дано: ∆ ABC, AC=BC,
∠NBC — внешний угол при вершине B.
Доказать: ∠NBC=1/2 ∠C +90º.
Доказательство:
1) ∠A=∠ABC (как углы при основании равнобедренного треугольника).
2) Так как сумма углов треугольника равна 180º, то
∠A=∠ABC=(180º-∠C):2=90º-1/2 ∠C.
3) ∠NBC+∠ABC =180º (как смежные).
Отсюда ∠NBC=180º-∠ABC=180º-(90º-1/2 ∠C)=90º+ 1/2 ∠C.
Что и требовалось доказать.