Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R в прямоугольной системе координат имеет вид

${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$

Доказательство:

1. Пусть в прямоугольной системе координат задана окружность с центром в точке A (a;b) и радиусом R (R>0).

uravnenie-okruzhnosti Чтобы составить уравнение этой окружности, выберем на окружности произвольную точку B (x;y).

По определению окружности, расстояние от центра до любой точки окружности равно радиусу R, то есть AB=R.

По формуле расстояния между точками

$A{B^2} = {({x_B} - {x_A})^2} + {({y_B} - {y_A})^2},$

откуда

${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}.$

Так как B (x;y) — произвольная точка окружности, координаты любой точки окружности удовлетворяют этому уравнению.

2. Если пара чисел (x_o;y_o) удовлетворяет данному уравнению, то

${({x_o} - a)^2} + {({y_o} - b)^2} = {R^2},$

$\sqrt {{{({x_o} - a)}^2} + {{({y_o} - b)}^2}} = R.$

А это значит, что расстояние между точками C(x_o;y_o) и A(a;b) равно R. Значит, точка C(x_o;y_o) принадлежит окружности с центром в точке A(a;b) и радиусом R.

Следовательно, данное уравнение фигуры является уравнением окружности.

Что и требовалось доказать.

Уравнение окружности

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Навигация по сайту

Рубрики