Как решать задачи на трапецию

Если дана трапеция, каким путем можно повести решение задачи?

Существует три основных варианта решения задач на трапецию.

1) Провести из вершин трапеции высоты.

trapeciya-zadachi

$BK \bot AD,BK \bot BC,$

$CP \bot AD,CP \bot BC$

Четырёхугольник KBCP — параллелограмм (так как у него все углы прямые).

trapeciya-v-zadachah Следовательно, KP=BC.

В частности, если ABCD — равнобедренная трапеция, то прямоугольные треугольники ABK и DCP равны, а значит, AK=DP.

Если AB=a, BC=b, то

$AK = PD = \frac{{a - b}}{2}.$

2) Провести из вершины при меньшем сновании прямую, параллельную боковой стороне.

zadachi-s-trapeciej

$CL\parallel AB$

Тогда четырехугольник ABCL — параллелограмм (по определению), и CL=AB, AL=BC.

В частности, если трапеция ABCD -равнобедренная, то CD=AB, CD=CL, то есть треугольник CLD — равнобедренный с основанием LD.

3) Продлить боковые стороны до пересечения.

kak-reshat-zadachi-s-trapeciej В этом случае треугольники

AMD и BMC подобны

(по двум углам).

reshenie-zadach-s-trapeciej

∠ M — общий;

∠DAM=∠CBM

(как соответственные углы при AD ∥ BC и секущей AB).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{DM}}{{CM}}.$