Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма

Что можно сказать о случае, когда точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне?

Утверждение 1

Если точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма принадлежит другой стороне, то одна сторона параллелограмма вдвое больше другой.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC.

Доказать: BC=2AB.

Доказательство:

Так как биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, треугольники ABF и DCF — равнобедренные,

AB=BF, CD=CF.

По свойству параллелограмма, AB=CD.

Следовательно, AB=BF=CD=CF,

BC=BF+CF=2AB.

Что и требовалось доказать.

Утверждение 2.

Если точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма принадлежит другой стороне, то сумма квадратов этих биссектрис равна квадрату большей стороны и в 4 раза больше квадрата меньшей стороны параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC.

Доказать:

   

   

Доказательство:

Так как биссектрисы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, взаимно перпендикулярны, то ∠AFC=90º.

Из прямоугольного треугольника AFD по теореме Пифагора

   

Так как точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма принадлежит его стороне, длина большей стороны в 2 раза больше длины меньшей:

   

Следовательно,

   

Что и требовалось доказать.

В следующий раз рассмотрим, как эти свойства биссектрис параллелограмма применяются при решении задач.