Середины сторон ромба — вершины прямоугольника

Задача.

Доказать, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Дано: ABCD — ромб,

M, N, K, F — середины его сторон

Доказать: MNKF — прямоугольник.

Доказательство:

1) По теореме Вариньона, MNKF- ромб.

2) Проведём диагонали AC и BD.

3) Рассмотрим треугольник ABC.

По условию, M и N — середины сторон AB и BC.

Значит, MN — средняя линия треугольника ABC (по определению).

По свойству средней линии треугольника,

   

4) Аналогично, в треугольнике BCD

   

5) По свойству ромба,

   

Две прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, также перпендикулярны:

   

6) Имеем: в параллелограмме MNKF ∠MNK=90º.

Значит, MNKF- прямоугольник (по признаку).

Что и требовалось доказать.

Периметр прямоугольника MNKP равен сумме диагоналей ромба ABCD

   

Площадь прямоугольника MNKP равна половине площади ромба ABCD