Площадь вписанного четырехугольника

Площадь вписанного четырехугольника

May.13,2015

Как найти площадь вписанного четырехугольника?

ploshchad-vpisannogo-chetyrekhugolnika I способ.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:

$S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} ,$

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

$p = \frac{{a + b + c + d}}{2}.$

(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).

II способ.

ploshchad-chetyrekhugolnika-vpisannogo-v-okruzhnost Площадь четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, можно найти как сумму площадей треугольников, например, ABC и ADC.

Из треугольника ABC по теореме косинусов

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC.$

Аналогично, из треугольника ADC

$A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \angle ADC.$

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность,

$\angle ABC + \angle ADC = {180^o}$

Так как cos(180º-α)= — cosα

$\cos \angle ADC = \cos ({180^o} - \angle ABC) = - \cos \angle ADC$

Отсюда,

$A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} + 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \angle ABC.$

Приравниваем правы части равенств для AC²

$A{D^2} + D{C^2} + 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \angle ABC =$

$= A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC.$

Отсюда,

$2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \angle ABC + 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC =$

$- A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2},$

$2\cos \angle ABC \cdot (AD \cdot DC + AB \cdot BC) =$

$= A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}$

$\cos \angle ABC = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}}}{{2(AB \cdot BC + AD \cdot DC)}}.$

Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

(для 0º<α<180º sinα>0)

$\sin \angle ABC = \sqrt {1 - {{(\cos \angle ABC)}^2}}$

и по формуле

$S = \frac{1}{2}a \cdot b \cdot \sin \alpha$

найдём

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC.$

Аналогично,

${S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \cdot \sin \angle ADC,$

$\sin \angle ADC = \sin \angle ABC$

(так как их сумма равна 180º, а sin(180º-α )=sinα).

${S_{ABCD}} = {S_{\Delta ABC}} + {S_{\Delta ADC}}.$

В частных случаях: если в окружность вписан правильный четырёхугольник (то есть квадрат), прямоугольник либо четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны — решение задачи может быть упрощено.

Площадь любого четырёхугольника, в том числе, и вписанного, равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2}{d_1} \cdot {d_2} \cdot \sin \varphi$

В следующий раз рассмотрим конкретные примеры нахождения площади вписанного четырёхугольника.

Добавить комментарий Отменить ответ