Основания, периметр и площадь равнобедренной трапеции |

Задача 1.

Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 10, а её периметр равен 24.

Найдите площадь трапеции.

Решение:

Периметр трапеции ABCD равен

${P_{ABCD}} = AB + BC + CD + AD$

Так как трапеция равнобедренная, BC=AD, поэтому

${P_{ABCD}} = AB + AD + CD + AD = AB + 2AD + CD.$

Отсюда находим боковую сторону трапеции

$2AD = {P_{ABCD}} - (AB + CD),$

$AD = \frac{{{P_{ABCD}} - (AB + CD)}}{2} = \frac{{24 - (10 + 4)}}{2} = 5.$

ploshchad-ravnobedrennoy-trapecii-cherez-storony Проведем высоту трапеции DH, DH⊥AB.

По свойству высоты равнобедренной трапеции

$AH = \frac{{AB - CD}}{2} = \frac{{10 - 4}}{2} = 3.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH.

$A{D^2} = D{H^2} + A{H^2},$

откуда находим высоту трапеции

$DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4.$

$S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h$

площадь трапеции ABCD

${S_{ABCD}} = \frac{{AB + CD}}{2} \cdot DH = \frac{{10 + 4}}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28.$

Ответ: 28.

Задача 2.

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 14, а её площадь равна 44.

Найдите периметр трапеции.

Решение:

ploshchad-ravnobedrennoy-trapecii-cherez-storony Проведём высоту трапеции DH, DH⊥AB.

Площадь трапеции ABCD

${S_{ABCD}} = \frac{{AB + CD}}{2} \cdot DH,$

откуда высота

$DH = \frac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = \frac{{2 \cdot 44}}{{14 + 8}} = \frac{{2 \cdot 44}}{{22}} = 2 \cdot 2 = 4.$

По свойству высоты равнобедренной трапеции

$AH = \frac{{AB - CD}}{2} = \frac{{14 - 8}}{2} = 3.$

Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора

$A{D^2} = D{H^2} + A{H^2},$

$AD = \sqrt {D{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5.$

Так как трапеция равнобедренная, BC=AD=5.

Периметр трапеции ABCD равен

${P_{ABCD}} = AB + AD + CD + AD = 14 + 5 + 8 + 5 = 32.$

Ответ: 32.

Основания, периметр и площадь равнобедренной трапеции