Найти центр и радиус окружности

Если окружность задана уравнением вида

${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2},$

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Примеры.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

$1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;$

$2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;$

$3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;$

$4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;$

$5){x^2} + {y^2} = 11.$

Решение:

$1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;$

a=3, b=7, R²=4.

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

$2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;$

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

$3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;$

a=0, b=-3, R²=9.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

$4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;$

a=6, b=0, R²=5.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

$5){x^2} + {y^2} = 11.$

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0,$

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

$({x^2} - 2ax) + ({y^2} - 2by) + c = 0,$

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

$({x^2} - 2ax + {a^2}) - {a^2} + ({y^2} - 2by + {b^2}) - {b^2} + c = 0.$

Отсюда

${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + c - {a^2} - {b^2} = 0,$

${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2} + {b^2} - c.$

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .$

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c<0 нет ни одной точки, удовлетворяющей этому уравнению.

Примеры.

Найти координаты центра и радиус окружности:

$1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0;$

$2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0;$

$3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0.$

Решение:

$1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0$

Группируем слагаемые

$({x^2} + 10x) + ({y^2} - 6y) - 15 = 0$

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

${x^2} + 10x = ({x^2} + 2 \cdot x \cdot 5 + {5^2}) - {5^2}.$

Аналогично

${y^2} - 6y = ({y^2} - 2 \cdot y \cdot 3 + {3^2}) - {3^2}.$

Таким образом,

$({x^2} + 2 \cdot x \cdot 5 + {5^2}) - {5^2} + ({y^2} - 2 \cdot y \cdot 3 + {3^2}) - {3^2} - 15 = 0$

${(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} - 25 - 9 - 15 = 0$

${(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} = 49$

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

$2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0$

$({x^2} - 5x) + {y^2} + 4 = 0$

$({x^2} - 2 \cdot x \cdot 2,5 + {2,5^2}) - {2,5^2} + {y^2} + 4 = 0$

${(x - 2,5)^2} + {y^2} + 4 - 6,25 = 0$

${(x - 2,5)^2} + {y^2} = 2,25$

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

$3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

${x^2} + {y^2} - \frac{4}{3}x - 3y + \frac{4}{3} = 0$

Далее — аналогично

$({x^2} - \frac{4}{3}x) + ({y^2} - 3y) + \frac{4}{3} = 0$

$({x^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})^2}) - {(\frac{2}{3})^2} + ({y^2} - 2 \cdot y \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})^2}) -$

$- {(\frac{3}{2})^2} + \frac{4}{3} = 0$

${(x - \frac{2}{3})^2} + {(y - \frac{3}{2})^2} - \frac{{{4^{\backslash 4}}}}{9} - \frac{{{9^{\backslash 9}}}}{4} + \frac{{{4^{\backslash 12}}}}{3} = 0$