Медиана треугольника делит прямой угол в отношении 1:2

Что следует из того, что медиана делит прямой угол в отношении 1:2?   Дано: ∆ ABC,

∠ABC=90º,

BO — медиана,

∠CBO:∠OBA=1:2.

Какими свойствами обладают ∆ ABO и ∆ CBO?

Решение:

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠CBO=kº, ∠OBA=2kº.

∠CBO+∠OBA=90º,

отсюда k+2k=90 и

k=30.

Значит, ∠CBO=30º, ∠OBA=60º.

2) Поскольку медиана прямоугольного треугольника,проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то

   

3) Из того, что BO=CO, следует, что треугольник CBO — равнобедренный с основанием BC (по определению равнобедренного треугольника).

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠C=∠CBO=30º.

4) Аналогично, в треугольнике ABO

∠OAB=∠OBA=60º.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то ∠BOA=180º-(∠OAB+∠OBA)=60º.

Все углы треугольника ABO равны, значит, этот треугольник — равносторонний,

AB=OB=OA.

Вывод:

Если медиана делит прямой угол в отношении 1:2, то

— она разбивает исходный прямоугольный треугольник на два треугольника, один из которых — равносторонний, а другой — равнобедренный,

— боковые стороны равнобедренного треугольника равны сторонам равностороннего треугольника и равны меньшему катету,

— острые углы исходного прямоугольного треугольника равны  30º и 60º.

Дополнительное построение.

Проведем в треугольнике CBO высоту OF.

    В прямоугольном треугольнике FCO ∠C=30º.

Следовательно,

   

(как катет, лежащий напротив угла в 30º).

Отсюда,