Координаты точки делящей отрезок

Найдём координаты точки делящей отрезок в данном отношении.

koordinaty-tochki-delyashchej-otrezok Дано:

A (x₁;y₁), B(x₂;y₂),

C∈AB, AC:CB=m:n.

Доказать:

$x = \frac{{nx_1 + mx_2 }}{{m + n}};$

$y = \frac{{ny_1 + my_2 }}{{m + n}}$

Доказательство:

1) При x₂>x₁; y₂>y₁.

Проведём через точки A, B и C прямые, параллельные осям Ox и Oy.

Рассмотрим образованные этими прямыми прямоугольные треугольники ACF и CBK.

∠ACF=∠CBK (как соответственные при CF∥BK и секущей AB).

Следовательно, треугольники ACF и CBK подобны (по острому углу).

Следовательно,

$\frac{{AC}}{{CB}} = \frac{{AF}}{{CK}} = \frac{{CF}}{{BK}}$

AF=x-x₁; CK=x₂-x; CF=y-y₁; BK=y₂-y.

$\frac{m}{n} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x}} = \frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y}}$

Отсюда

$m(x_2 - x) = n(x - x_1 )$

$mx_2 + nx_1 = nx + mx$

$x(m + n) = nx_1 + mx_2$

$x = \frac{{nx_1 + mx_2 }}{{m + n}}$

Аналогично,

$y = \frac{{ny_1 + my_2 }}{{m + n}}$

koordinaty-tochki-delyashchej-otrezok-v-otnoshenii 2) При x₂=x₁; y₂>y₁

Абсциссы точек A, B и C одинаковы: x₂=x₁=x. Формула

$x = \frac{{nx_1 + mx_2 }}{{n + m}}$

также выполняется:

$x = \frac{{nx + mx}}{{n + m}} = \frac{{x(n + m)}}{{n + m}}.$

Формула

$y = \frac{{ny_1 + my_2 }}{{m + n}}$

вытекает непосредственно из условия AC:CB=m:n, так что

$\frac{m}{n} = \frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y}}$

3) При других вариантах взаимного расположения x₂и x₁, y₂и y₁ доказательство аналогично.

Что и требовалось доказать.