Задача.
Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции.
Дано: ABCD — трапеция, AD∥BC, AB=CD,
треугольники ABC и ADC — равнобедренные.
Найти: углы трапеции.
Решение:
I.
1) Если AB=BC, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
Если AC=AD, то треугольник ADC — равнобедренный с основанием CD.
Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠BAC=∠BCA, ∠ADC=∠ACD.
2)∠DAC=∠BCA (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей AC).
3) Пусть ∠BAC=xº, тогда ∠BCA=xº, ∠DAC=xº.
∠BAD=∠BAC+∠DAC=2xº.
4) ∠ADC=∠BAD=2xº (как углы при основании равнобедренной трапеции).
Следовательно, ∠ACD=2xº, ∠BCD=∠BCA+∠ACD=3xº.
5) ∠BAD+∠BCD=180º (по свойству равнобедренной трапеции). Имеем уравнение:
2x+3x=180
5x=180
x=36
Значит, ∠BAD=2∙36=72º, ∠BCD=3∙36=108º.
II.
Если AB=AC, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC. Тогда у него углы при основании равны: ∠B=∠BCA. Но угол B — тупой, а два тупых угла в треугольнике быть не может. Следовательно, AB не может быть равным AC (отсюда и CD не может быть равным AC, так как AB=CD по условию).
Ответ: 72º, 108º.