Какими свойствами обладают биссектрисы углов параллелограмма? Для биссектрис углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, и для биссектрис противолежащих углов эти свойства разные.
Свойство биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AF биссектриса ∠BAD,
DK- биссектриса ∠ADC,
AF ∩ DK= M.
Доказать: ∠AMD=90º.
Доказательство:
1) ∠BAD+∠ADC=180º (как внутренние односторонние углы при AB ∥ CD и секущей AD).
2) Так как биссектриса угла делит его пополам, то
![\[\angle DAM = \frac{1}{2}\angle BAD,\angle ADM = \frac{1}{2}\angle ADC.\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a93a32c9932484f8bca022e80234b3d4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3)\angle DAM + \angle ADM = \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle ADC = \]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec0003ea0f73442cc233043c1640cf25_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{1}{2}(\angle BAD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8b03284607480f36ca7f4a7605c4d1f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
4) Рассмотрим треугольник ADM. Так как сумма углов треугольника равна 180º, то
∠DAM+∠ADM+∠AMD=180º,
90º+∠AMD=180º, откуда ∠AMD=180º- 90º=90º,
то есть биссектрисы углов параллелограмма, прилежащие к стороне AD, перпендикулярны.
Что и требовалось доказать.
В следующий раз рассмотрим свойство биссектрис противолежащих углов параллелограмма.
спасибо