Хорды пересекаются

Если хорды пересекаются, как этот факт можно использовать при решении задач?

Теорема

(Свойство отрезков пересекающихся хорд (пропорциональность хорд окружности))

Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное.

То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то

 AF ∙ FB=CF ∙ FD

Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

   

Доказать:  AF ∙ FB=CF ∙ FD

Доказательство:

1) Проведём отрезки BC и AD.

2) Рассмотрим треугольники AFD и CFB.

∠AFD=∠CFB (как вертикальные);

∠DAF=∠BCF (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BD).

Следовательно, треугольники AFD и CFB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

   

то есть отрезки пересекающихся хорд пропорциональны.

По основному свойству пропорции:

   

Что и требовалось доказать.

При решении задач с пересекающимися хордами можно использовать не только вывод теоремы, но также полученный в ходе её доказательства факт, что пересекающиеся хорды образуют пары подобных треугольников.

Задача 1.

Через точку M, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой M на отрезки, длины которых равны 6 см и 16 см. Найти расстояние от точки M до центра окружности, если радиус окружности равен 14 см.

Дано: окружность (O; R), R=14 см, AB  — хорда, M∈AB, AM=16 см, MB=6 см

Найти: OM

Решение:

Проведём через точку M диаметр CD.

По свойству отрезков пересекающихся хорд:

AM ∙ MB=CM ∙ MD

Пусть OM=x см (x>0). Так как радиус равен 14 см, то MD= (14-x) см, CM=(14+x) см.

Составим и решим уравнение:

16 ∙ 6=(14+x)∙ (14-x)

96=196-x²

x²=100

x=10

Следовательно, расстояние от точки M до центра окружности равно 10 см.

Ответ: 10 см.

Задача 2.

В окружности проведены хорды AB и CD , пересекающиеся в точке F. Найти длину отрезка AC, если AF=6, DF=8, BD=20.

Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

   

AF=6, DF=8, BD=20.

Найти: AC,

Решение:

В треугольниках AFC и BFD:

∠AFC=∠BFD (как вертикальные);

∠ACF=∠DBF (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду AD).

Следовательно, треугольники AFC и BFD подобны (по двум углам). Поэтому

   

   

Ответ: 15.