По сторонам параллелограмма найти его диагонали

Если в задаче требуется по сторонам параллелограмма найти его диагонали, следует воспользоваться свойством диагоналей параллелограмма.

Задача 1.

Диагонали параллелограмма равны 7 см и 11 см, а его стороны относятся как 6:7. Найти стороны параллелограмма.

po diagonalyam parallelogramma nayti ego storonyi Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=11 см, BD=7 см,

AB:AD=6:7

Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AB=6k см, AD=7k см.

$A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})$

Составим уравнение и решим его:

${11^2} + {7^2} = 2({(6k)^2} + {(7k)^2})$

$121 + 49 = 2(36{k^2} + 49{k^2})$

$170 = 170{k^2}$

${k^2} = 1$

$\underline {k = 1}$

Следовательно, AB=6∙1=6 см, AD=7∙1=7 см.

Ответ: 6 см, 7 см.

Задача 2.

Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см. Найти стороны параллелограмма.

po diagonalyam parallelogramma nayti ego storonyi

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=19 см, BD=17 см,

AD на 5 см больше AB.

Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть AB=x см, тогда AD=(x+5) см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

$A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})$

Составим уравнение и решим его:

${19^2} + {17^2} = 2({x^2} + {(x + 5)^2})$

$361 + 289 = 2({x^2} + {x^2} + 10x + 25)$

$650 = 2(2{x^2} + 10x + 25)$

$325 = 2{x^2} + 10x + 25$

$2{x^2} + 10x - 300 = 0$

${x^2} + 5x - 150 = 0$

${x_1} = 10,{x_2} = - 15.$

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Значит, AB=10 см, AD= 10+5=15 см.

Ответ: 10 см, 15 см.