Осевая симметрия является движением

Осевая симметрия является движением

Теорема.

Осевая симметрия является движением.

Доказательство:

osevaya-simmetriya-est-dvizhenieПусть A и B — две произвольные точки фигуры F.

При симметрии относительно прямой g фигуры F точка A переходит в точку A1, точка B — в точку B1. При этом AO=A1O, BO1=B1O1и прямая g перпендикулярна отрезкам AA1 и BB1.

Проведём отрезки AO1 и A1O1.

Прямоугольные треугольники AOO1 и A1OO1 равны по двум катетам, следовательно, AO1=A1O1 и ∠OAO1=∠OA1O1.

Прямые AA1 и BB1 параллельны по признаку параллельности прямых (как прямые, перпендикулярные одной и той же прямой g).

∠BO1A=∠OAO1 (как внутренние накрест лежащие при AA1 ∥ BB1 и секущей AO1)

∠B1O1A1=∠OA1O1 (как внутренние накрест лежащие при AA1 ∥ BB1 и секущей A1O1)

Следовательно, ∠BO1A=∠B1O1A1.

В треугольниках BO1A и B1O1A1:

1) ∠BO1A=∠B1O1A1;

2) BO1=B1O1;

3) AO1=A1O1.

Следовательно, эти треугольники равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=A1B1, то есть расстояние между точками сохраняется, а значит, преобразование симметрии относительно прямой есть движение.

Что и требовалось доказать.

One Comment

  1. Добротное классическое обоснование осевой симметрии как движения, ключевым свойством которого является сохранение расстояния между двумя точками плоскости при их движении.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *