Косинус 30 градусов в прямоугольном треугольнике

Найдем, чему равен косинус 30 градусов в прямоугольном треугольнике.

Утверждение.

$\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

kosinus 30

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 30 градусов:

∠C=90º, ∠A=30º.

Так как катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы, то

$BC = \frac{1}{2}AB.$

Обозначим BC=a, тогда AB=2a (a>0).

$A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}.$

Значит,

${(2a)^2} = {a^2} + A{C^2}$

$A{C^2} = 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2}$

$AC = \sqrt {3{a^2}} = a\sqrt 3 .$

По определению, косинуса острого угла прямоугольного треугольника

$\cos \angle A = \frac{{AC}}{{AB}}.$

Подставляем:

$\cos \angle A = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Таким образом,

$\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Что и требовалось доказать.

Если перевести 30 градусов в радианы:

${30^o} = \frac{\pi }{6},$

получим значение косинуса пи на 6:

$\cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Косинус 30 градусов