Если в четырехугольнике все углы равны, то что можно сказать о таком четырехугольнике?
Теорема.
(5-й признак прямоугольника)
Если в четырехугольнике все углы равны, то этот четырехугольник является прямоугольником.
Дано:
ABCD- четырехугольник,
∠A=∠B=∠C=∠D.
Доказать:
ABCD — прямоугольник.
Доказательство:
1) Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360º, то
∠A=∠B=∠C=∠D=360º:4=90º.
2) Если у четырехугольника три угла прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник (по 4-му признаку).
Значит, ABCD — прямоугольник.
Что и требовалось доказать.
Замечание.
Если утверждение о сумме углов выпуклого четырехугольника к началу изучения темы «Прямоугольник» еще не было доказано, это можно сделать непосредственно в доказательстве 5-го признака прямоугольника.
Тогда 1-й пункт принимает такой вид:
1) Проведем в четырехугольнике ABCD диагональ AC.
Она разбивает четырехугольник на треугольники
ABC и ADC.
Сумма углов каждого треугольника равна 180º, поэтому
∠BAC+∠ABC+∠BCA=180º и ∠ACD+∠CDA+∠DAC=180º.
Сумма углов четырехугольника ABCD равна сумме углов этих треугольников:
∠A+∠B+∠C+∠D=∠BAC+∠ABC+∠BCA+∠ACD+∠CDA+∠DAC=180º+180º=360º.
По условию, в четырехугольнике ABCD все углы равны. Поэтому ∠A=∠B=∠C=∠D=360º:4=90º.
Пункт 2-й в этом случае не меняется.