Утверждение
Если в треугольник вписан ромб так, что один угол у них — общий, а противоположная ему вершина ромба принадлежит третьей стороне треугольника, то ромб отсекает два треугольника, подобные данному.
Дано: ∆ ABC,
AMNK — ромб, N∈BC.
Доказать:
Доказательство:
Рассмотрим треугольники ABC и MBN.
1) ∠B — общий;
2) ∠A=∠NMB (как соответственные при AK ∥ MN и секущей AB).
Следовательно, треугольники ABC и MBN подобны (по двум углам).
Аналогично, в треугольниках ABC и KNC
1)∠C — общий;
2) ∠A=∠CKN (как соответственные при AM ∥ KN и секущей AC) и
Заметим, что треугольники MBN и KNC также подобны (как треугольники, подобные одному и тому же треугольнику ABC, либо по двум углам).
Что и требовалось доказать.
Задача.
В треугольник ABC вписан ромб AMNK так, что угол A у них общий, а вершина N принадлежит стороне BC. Найти сторону ромба, если AB=10 см, AC=15 см.
Решение:
Треугольники ABC и MBN подобны (по доказанному выше).
Следовательно, их соответствующие стороны пропорциональны:
Пусть сторона ромба равна x см: MN=AN=x см, тогда AM=(10-x) см.
По основному свойству пропорции
Следовательно, сторона ромба равна 6 см.
Ответ: 6 см.