Теорема синусов

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

 

Дано: ∆ ABC,

BC=a, AC=b, AB=c,

∠A=α, ∠B=β, ∠C=γ.

Доказать:

   

Доказательство:

 

1) Опустим из вершины C высоту CD.

2) Из прямоугольного треугольника ACD по определению синуса острого угла 

   

Отсюда

   

3) Аналогично из треугольника BCD

   

4) Приравниваем правые части полученных равенств:

   

Поделив обе части последнего равенства на произведение sinα∙sinβ, получим:

   

5) Опустим из вершины A высоту AF.

6) Из прямоугольного треугольника ACF по определению синуса

   

   

7) Аналогично из треугольника ABF

   

8) Приравниваем правые части:

   

делим обе части равенства на произведение sinγ∙sinβ, получаем:

   

   

Что и требовалось доказать.

 

 

Замечание.

Если треугольник ABC тупоугольный, то все рассуждения и в этом случае сохраняются, поскольку 

   

Например, из треугольника BCD

   

В прямоугольном треугольника теорему синусов не принято использовать (достаточно применить определение синуса).