Средняя линия трапеции по периметру и радиусу |

Задача.

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 64.

Найдите длину её средней линии.

Решение:

Периметр трапеции ABCD равен

${P_{ABCD}} = AB + BC + CD + AD.$

Так как трапеция описана около окружности, то суммы длин её противолежащих сторон равны, а значит, каждая из таких сумм равна половине периметра:

$AB + CD = AD + BC = \frac{1}{2}{P_{ABCD}}.$

Поскольку средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то в итоге получаем, что средняя линия описанной трапеции равна четверти её периметра:

$MN = \frac{{AB + CD}}{2} = \frac{{\frac{1}{2}{P_{ABCD}}}}{2} = \frac{1}{4}{P_{ABCD}} = \frac{1}{4} \cdot 64 = 16.$

Ответ: 16.

Средняя линия трапеции по периметру и радиусу вписанной окружности