Следствия теоремы косинусов |

Рассмотрим два следствия теоремы косинусов.

Следствие 1

(свойство диагоналей параллелограмма)

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

$A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + A{D^2}$

По свойству параллелограмма AB=CD, AD=BC.

Поэтому сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

$A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})$

sledstviya teoremyi kosinusov

Дано:

ABCD — параллелограмм,

AC и BD — диагонали.

Доказать:

$A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})$

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник ABD.

По теореме косинусов:

$B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD.$

2) Аналогично, из треугольника ADC

$A{C^2} = C{D^2} + A{D^2} - 2 \cdot CD \cdot AD \cdot \cos \angle ADC.$

3) Сложим полученные равенства почленно:

$\begin{array}{l} A{C^2} + B{D^2} = 2{(A{B^2} + AD)^2}.\\ B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD\\ \underline {A{C^2} = C{D^2} + A{D^2} - 2 \cdot CD \cdot AD \cdot \cos \angle ADC} \\ A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} + C{D^2} + A{D^2} - \end{array}$