Площадь треугольника через радиус вписанной окружности |

Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.

ploschad treugolnika cherez radius vpisannoy okruzhnosti

Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:

$S = pr,$

$p = \frac{{a + b + c}}{2}$

Дано:

∆ ABC,

окружность (O; r) — вписанная,

AB=c, BC=a, AC=b,

$p = \frac{{a + b + c}}{2}$

Доказать:

${S_{\Delta ABC}} = pr$

Доказательство:

площадь треугольника через вписанную окружность

Рассмотрим треугольник AOC.

$OF \bot AC$

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, OF — высота треугольника AOC.

$S = \frac{1}{2}a{h_a}$

${S_{\Delta AOC}} = \frac{1}{2}AC \cdot OF = \frac{1}{2}br.$

ploschad treugolnika cherez

Аналогично найдем

площади

треугольников

AOB и BOC:

${S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}AB \cdot OD = \frac{1}{2}cr,$

${S_{\Delta BOC}} = \frac{1}{2}BC \cdot OK = \frac{1}{2}ar.$

Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то

${S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta AOC}} + {S_{\Delta AOB}} + {S_{\Delta BOC}} =$

$= \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar = \frac{{a + b + c}}{2} \cdot r = pr.$

Что и требовалось доказать.

Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:

$S = \frac{1}{2}P \cdot r,$

где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.

2 Comments

Полезно, вспомнить курс школьной геометрии.
Разработчики сайта дерзайте дальше.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности