Около окружности описан многоугольник |

Okolo okruzhnosti opisan mnogougol'nik Задача 1.

Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 30.

Его периметр равен 60. Найдите радиус этой окружности.

Решение:

r — радиус вписанной окружности, S — площадь многоугольника, p — полупериметр многоугольника связаны формулой

$r = \frac{S}{p}.$

Полупериметр p равен половине периметра P, то есть

$r = \frac{S}{{\frac{1}{2}P}} = \frac{{30}}{{\frac{1}{2} \cdot 60}} = \frac{{30}}{{30}} = 1.$

Ответ: 1.

Okolo okruzhnosti opisan mnogougol'nik Задача 2.

Около окружности, радиус которой равен 5, описан многоугольник, площадь которого равна 160.

Найдите его периметр.

Решение:

$r = \frac{S}{p}, \Rightarrow p = \frac{S}{r} = \frac{{160}}{5} = 32.$

Периметр многоугольника, соответственно, в 2 раза больше:

$P = 2p = 2 \cdot 32 = 64.$

Ответ: 64.

Задача 3.

Okolo okruzhnosti opisan mnogougol'nik Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 28.

Найдите его площадь.

Решение:

$r = \frac{S}{p}, \Rightarrow S = pr.$

$p = \frac{1}{2}P,$

откуда

$S = \frac{1}{2}\Pr = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 2 = 28.$

Ответ: 28.

Около окружности описан многоугольник