Общая хорда двух окружностей

Утверждение

Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.

Дано: окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B.

Доказать:

   

Доказательство:

Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F.

Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2.

1) O1A=O1B=R;

2) AO2=BO2=r;

3) O1O2 — общая сторона.

Значит, ∆O1AO2=∆O1BO2 (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B.

Треугольник AO1B — равнобедренный с основанием AB (O1A=O1B=R). Следовательно, биссектриса O1F является также его высотой и медианой. Таким образом, 

   

Аналогично доказывается, что

   

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку F можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой AB.

Следовательно, центры окружностей O1, O2 и точка F лежат на одной прямой O1O2, а общая хорда окружностей перпендикулярна этой прямой:

   

Что и требовалось доказать.