Неравенство треугольника

Неравенство треугольника описывает зависимость между длинами сторон любого треугольника.

Теорема (неравенство треугольника):

Длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

Дано:

ΔABC

Доказать:

AB<AC+BC

AC<AB+BC

BC<AB+AC

Доказательство:

На луче AC отложим отрезок CD, равный стороне BC:

CD=BC.

Треугольник BCD — равнобедренный с основанием BD.

А значит, ∠CBD=∠CDB (как углы при основании).

Рассмотрим треугольник ABD.

Так как угол CBD является частью угла ABD, то ∠CBD<∠ABD.

А значит, и ∠CDB<∠ABD.

Угол CDB лежит против стороны AB, угол ABD  — против стороны AD.

Поскольку в треугольнике против бо́льшего угла лежит бо́льшая сторона, то AB<AD.

Но AD=AC+CD=AC+BC.

Таким образом получаем, что AB<AC+BC.

Аналогично доказывается, что AC<AB+BC и  BC<AB+AC.

Что и требовалось доказать.

 

Следствие 1

Если для трёх точек A, B и C справедливо равенство AB=AC+BC, то эти точки лежат на одной прямой, причем точка C лежит между точками A и B.

Доказательство (способом от противного):

1) Предположим, что точка C не лежит на прямой AB.

Тогда по неравенству треугольника AB<AC+BC, что противоречит условию.

Значит точка C лежит на прямой AB.

2) Теперь предположим, что точка C не лежит между точками A и B.

Тогда AB<AC+BC. Снова пришли к противоречию.

Значит, точка C лежит между точками A и B.

Что и требовалось доказать.

Следствие 2

Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек меньше либо равно суммы расстояний от них до третьей точки.

   

   

   

 

Как неравенство треугольника используется в решении задач, мы рассмотрим позже.