Биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Биссектрисы смежных углов

Зависит ли угол, который образуют между собой биссектрисы смежных углов, от градусных мер этих углов?

Утверждение.

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

bissektrisyi smezhnyih uglov  Дано:  ∠AOD и ∠DOB — cмежные,

OF — биссектриса ∠AOD,

OK — биссектриса ∠DOB

Доказать:

    \[OF \bot OK\]

Доказательство:

Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠AOD+∠DOB=180º.

Так как OF — биссектриса ∠AOD, то

    \[\angle FOD = \frac{1}{2}\angle AOD.\]

Так как OK — биссектриса ∠DOB, то

    \[\angle DOK = \frac{1}{2}\angle DOB.\]

Отсюда,

    \[\angle FOD + \angle DOK = \frac{1}{2}\angle AOD + \frac{1}{2}\angle DOB = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\angle AOD + \angle DOB) = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.\]

 

bissektrisyi smezhnyih uglov perpendikulyarnyi Таким образом, мы доказали, что угол между биссектрисами смежных углов не зависит от градусной меры смежных углов и всегда равен 90º, то есть, биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

 

Задача.

ugol mezhdu bissektrisami smezhnyih uglov   Найти угол между биссектрисами смежных углов, один из которых на 100º больше другого.

 

 

Решение:

Так как биссектрисы смежных углов перпендикулярны, ∠FOK=90º.

(Находить градусные меры смежных углов не требуется).

Ответ: 90º.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *