Угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника

Рассмотрим, как связаны между собой угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника и его острые углы.

I. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла.

Дано: ∆АВС, ∠А=90º,

AP — биссектриса, AF — высота,

∠PАF=φ.

Найти: ∠B,∠C.

Решение:

1)  Так как AP — биссектриса прямого угла A, то ∠BAP=∠CAP=45º.

2)∠FAC=∠CAP-∠PАF=45º— φ.

3) ∆АFС — прямоугольный (так как AF — высота), следовательно, сумма его острых углов равна 90º:

∠C +∠FAC=90º, поэтому ∠C=90º -∠FAC=90-(45º— φ)=90º-45º+ φ=45º+ φ.

4) ∆АВС — прямоугольный(по условию), значит, ∠C +∠B=90º. Отсюда

∠B=90º-∠C=90º-(45º+ φ)=90º-45º- φ=45º- φ.

Вывод:

Острые углы прямоугольного треугольника равны 45º+ φ и 45º- φ , где φ — угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла.

I. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла.

Поскольку в прямоугольном треугольнике высоты, проведенные из вершин острых углов, совпадают с катетами, угол между высотой и биссектрисой в этом случае — половина острого  угла треугольника.

Следовательно, один острый угол в два раза больше угла между высотой и биссектрисой, а второй  равен разности 90º и первого острого угла.

Например, в треугольнике ABC (∠A=90º) CM — биссектриса, CA — высота.

∠ACM — угол между высотой и биссектрисой.

Угол ACB в два раза больше угла ACM.