Что следует из того, что диагональ ромба равна его стороне?
Утверждение.
Если диагональ ромба равна его стороне, то она делит ромб на два равных равносторонних треугольника.
Дано:
ABCD -ромб,
BD — диагональ,
BD=AB.
Доказать: ∆ ABD и ∆ BCD — равносторонние,
∆ ABD = ∆ BCD.
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник ABC.
AB=BD (по условию).
AB=AD (как стороны ромба).
Следовательно, AB=BD=AD. Значит, треугольник ABC — равносторонний (по определению).
2) Аналогично доказываем, что в ∆ BCD BC=CD=BD, то есть треугольник BCD — равносторонний.
3) AB=BC=CD=AD (как стороны ромба) и
AB=BC=CD=AD=BD (по условию).
Следовательно, треугольника ABD и BCD равны (по трем сторонам).
Что и требовалось доказать.
Так как треугольники ABD и BCD — равносторонние, то все их углы равны по 60º.
Отсюда найдем углы ромба:∠A=∠C=60º,
∠ABC=∠ADC=∠ABD+∠CBD=60º+60º=120º.
Вывод:
Если диагональ ромба равна стороне, углы ромба равны 60º и 120º.