Площадь параллелограмма ABCD равна 60 |

$A B E .$ Задача 1

Площадь параллелограмма ABCD равна 60. Точка E — середина стороны $A D .$ Найдите площадь треугольника $A B E .$

Решение:

1-й способ

Tochka-E-seredina-storony-AD Проведём диагональ BD.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, отсюда

${S_{\Delta ABD}} = {S_{\Delta CBD}} \Rightarrow {S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}.$

ВЕ- медиана треугольника ABD.

Медиана делит треугольник на две равновеликие части (то есть медиана делит площадь треугольника пополам).

Поэтому

${S_{\Delta ABE}} = {S_{\Delta DBE}} \Rightarrow {S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABD}}$

Следовательно,

${S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}$

Искомая площадь

${S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15.$

Ответ: 15

2-й способ

ploshchad' treugol'nika ABE Опустим из точки B перпендикуляр BF к прямой AD.

BF — высота треугольника ABE и высота параллелограмма ABCD.

$S = \frac{1}{2}a{h_a}$

${S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{2}AE \cdot BF$

$S = a{h_a}$

${S_{ABCD}} = AD \cdot BF$

Так как E — середина AD, то

$AE = \frac{1}{2}AD$

${S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AD \cdot BF = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15.$

Задача 2

Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найти площадь трапеции BCDE.

Решение:

Najti ploshchad' trapecii BCDE По доказанному выше,

${S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}},$

отсюда выразим площадь трапеции через площадь параллелограмма:

${S_{BCDE}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta ABE}} = \frac{3}{4}{S_{ABCD}}.$

Следовательно, искомая площадь трапеции BCDE равна

${S_{BCDE}} = \frac{3}{4}{S_{ABCD}} = \frac{3}{4} \cdot 28 = 21.$

Ответ: 21.

Площадь параллелограмма ABCD равна 60