Параллелограмм с вершинами в серединах сторон параллелогра|

Задача 1.

Диагонали четырёхугольника равны 12 и 21. Найти периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Решение:

LK, KN, MN и LM — средние линии треугольников ADC, BCD, ABC и ABD соответственно. Поэтому

perimetr chetyryohugol'nika vershiny kotorogo serediny

$LK = \frac{1}{2}AC,$

$KN = \frac{1}{2}BD,$

$MN = \frac{1}{2}AC,$

$LM = \frac{1}{2}BD.$

$\left. \begin{array}{l} LK = \frac{1}{2}AC\\ MN = \frac{1}{2}AC \end{array} \right\} \Rightarrow LK = MN.$

$\left. \begin{array}{l} KN = \frac{1}{2}BD\\ LM = \frac{1}{2}BD \end{array} \right\} \Rightarrow KN = LM.$

Противоположные стороны четырёхугольника MNKL равны, следовательно, MNKL — параллелограмм.

Параллелограмм, образованный серединами сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона.

MNKL — параллелограмм Вариньона.

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного параллелограмма:

${P_{MNKL}} = 2(LK + KN) =$

$= 2(\frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BD) = AC + BD = 12 + 21 = 33.$

Ответ: 33.

Задача 2.

Площадь параллелограмма ABCD равна 118. Найти площадь параллелограмма MNKL, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Решение:

Parallelogramm s vershinami v seredinah storon

MNKL — параллелограмм Вариньона.

Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.

Соответственно, площадь параллелограмма MNKL, вершинами которого являются середины сторон параллелограмма ABCD, равна половине площади исходного параллелограмма ABCD:

${S_{MNKL}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot 118 = 59.$

Ответ: 59.

Параллелограмм с вершинами в серединах сторон параллелограмма

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Навигация по сайту

Рубрики