Найти большую диагональ ромба по стороне и углу |

Найти большую диагональ ромба по стороне и углу

Najti bol'shuyu diagonal' romba Задача.

Найти большую диагональ ромба,

сторона которого равна 2,5√3, а острый угол равен 60°.

Решение:

1-й способ:

diagonal' romba po storone i uglu Рассмотрим треугольник ABD.

По свойствам ромба,

$AB = AD = 2,5\sqrt 3 ,$

$\angle ABC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot {60^o} = {30^o},$

$\angle ADB = {30^o}.$

Так как сумма углов треугольника равна 180°,

$\angle BAD = {180^o} - ({30^o} + {30^o}) = {120^o}.$

Отсюда по теореме синусов

$\frac{{AB}}{{\sin \angle ADB}} = \frac{{BD}}{{\sin \angle BAD}}$

$\frac{{2,5\sqrt 3 }}{{\sin {{30}^o}}} = \frac{{BD}}{{\sin {{120}^o}}}$

$BD = \frac{{2,5\sqrt 3 \cdot \sin {{120}^o}}}{{\sin {{30}^o}}}$

sin30°=1/2, sin120°=√3/2.

$BD = \frac{{2,5\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 2,5\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 2,5 \cdot 3 = 7,5.$

(Либо из треугольника ABD по теореме косинусов и так как cos120°=-1/2:

$B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD =$

$= 2A{B^2} - 2 \cdot A{B^2} \cdot \cos {120^o} = 2A{B^2} - 2 \cdot A{B^2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) =$

$= 2A{B^2} + A{B^2} = 3A{B^2},$

$BD = \sqrt {3A{B^2}} = AB\sqrt 3 = 2,5\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 7,5).$

2-й способ:

Рассмотрим треугольник AOB. Najti bol'shuyu diagonal' romba po storone i uglu

По свойствам диагоналей ромба

$\angle ABC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot {60^o} = {30^o},$

$\angle AOB = {90^o}.$

AO — катет, лежащий против угла в 30°, поэтому

$AO = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 2,5\sqrt 3 = \frac{{2,5\sqrt 3 }}{2}.$

По теореме Пифагора

$A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}$

$BO = \sqrt {A{B^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2,5\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{2,5\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} =$

$= \sqrt {\frac{{3 \cdot {{\left( {2,5\sqrt 3 } \right)}^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{3 \cdot {{2,5}^2} \cdot 3}}{4}} = \frac{{3 \cdot 2,5}}{2} = \frac{{7,5}}{2}.$

(или по определению косинуса и так как cos30°=√3/2:

$\cos \angle ABO = \frac{{BO}}{{AB}},$

$BO = AB \cdot \cos \angle ABO =$

$= 2,5\sqrt 3 \cdot \cos {30^o} = 2,5\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{7,5}}{2}).$

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то

$BD = 2BO = 2 \cdot \frac{{7,5}}{2} = 7,5.$

Ответ: 7,5.

Добавить комментарий Отменить ответ