Диагонали ромба относятся как 4:7. Найти высоту ромба

Задача.

Диагонали ромба относятся как 4:7.

Периметр ромба равен 65.

Найти высоту ромба.

Решение:

Najti vysotu romba Рассмотрим треугольник AOB.

$AO = \frac{1}{2}AC,$

$BO = \frac{1}{2}BD,$

$\angle AOB = {90^o}.$

Отсюда

$\frac{{AO}}{{BO}} = \frac{{\frac{1}{2}AC}}{{\frac{1}{2}BD}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{4}{{7}}$

Пусть AO=4k, BO=7k.

Периметр ромба P=4a, то есть

${P_{ABCD}} = 4AB = 65 \Rightarrow AB = BC = \frac{{65}}{4}.$

$AB = A{O^2} + B{O^2}.$

${(4k)^2} + {(7k)^2} = {\left( {\frac{{65}}{4}} \right)^2}$

$65{k^2} = \frac{{{{65}^2}}}{{16}}$

${k^2} = \frac{{65}}{{16}} \Rightarrow k = \frac{{\sqrt {65} }}{4}.$

$AO = 4k = 4 \cdot \frac{{\sqrt {65} }}{4} = \sqrt {65} ,$

$BO = 7k = \frac{{7\sqrt {65} }}{4},$

$AC = 2AO = 2\sqrt {65} .$

Рассмотрим треугольник ABC. BO- высота треугольника, проведённая к стороне AC, AH — высота, проведённая к стороне BC.

Получили задачу, в которой по известным сторонам и высоте треугольника нужно найти другую высоту.

$S = \frac{1}{2}a{h_a}$

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BO = \frac{1}{2}BC \cdot AO,$

откуда

$AC \cdot BO = BC \cdot AO,$

$AO = \frac{{AC \cdot BO}}{{BC}} = \frac{{2\sqrt {65} \cdot \frac{{7\sqrt {65} }}{4}}}{{\frac{{65}}{4}}} = 2 \cdot 7 = 14.$

Ответ: 14.