Хорды в точки касания

Утверждение

Если две окружности касаются внешним образом, то хорды, соединяющие точку касания этих окружностей с точками касания окружностей с их общей внешней касательной, перпендикулярны.

Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке B, AC — общая касательная,

окр. (O1; R)∩AC=A, окр.(O2; r)∩AC=C.

Доказать:∠ABC=90º.

Доказательство:

Соединим центры окружностей с концами хорд.

   

(как радиусы, проведённые в точку касания). По признаку параллельности прямых, O1A∥O2C.

Точки O1, B и O2 лежат на одной прямой. Следовательно, четырёхугольник ACO2O1 — прямоугольная трапеция.

   

(как внутренние односторонние при O1A∥O2C и секущей O1O2). Пусть ∠AO1O2=α, тогда ∠CO2O1=180º-α.

Треугольники AO1B и CO2B — равнобедренные с основаниями AB и BC (так как AO1=BO1=R, BO2=CO2=r). Значит, их углы при основании равны и

   

   

   

   

Что и требовалось доказать.