Хорды в точки касания

Утверждение

Если две окружности касаются внешним образом, то хорды, соединяющие точку касания этих окружностей с точками касания окружностей с их общей внешней касательной, перпендикулярны.

hordy-perpendikulyarnyДано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке B, AC — общая касательная,

окр. (O1; R)∩AC=A, окр.(O2; r)∩AC=C.

Доказать:∠ABC=90º.

Доказательство:

xordy-v-tochki-kasaniyaСоединим центры окружностей с концами хорд.

    \[{O_1}A \bot AC,{O_2}C \bot AC\]

(как радиусы, проведённые в точку касания). По признаку параллельности прямых, O1A∥O2C.

Точки O1, B и O2 лежат на одной прямой. Следовательно, четырёхугольник ACO2O1 — прямоугольная трапеция.

    \[\angle A{O_1}{O_2} + \angle C{O_2}{O_1} = {180^o}\]

(как внутренние односторонние при O1A∥O2C и секущей O1O2). Пусть ∠AO1O2=α, тогда ∠CO2O1=180º-α.

Треугольники AO1B и CO2B — равнобедренные с основаниями AB и BC (так как AO1=BO1=R, BO2=CO2=r). Значит, их углы при основании равны и

    \[\angle {O_1}BA = \frac{{{{180}^o} - \alpha }}{2} = {90^o} - \frac{\alpha }{2},\]

    \[\angle {O_2}BC = \frac{{{{180}^o} - ({{180}^o} - \alpha )}}{2} = \frac{\alpha }{2}.\]

    \[\angle ABC = {180^o} - (\angle {O_1}BA + \angle {O_2}BC),\]

    \[\angle ABC = {180^o} - ({90^o} - \frac{\alpha }{2} + \frac{\alpha }{2}) = {90^o}.\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий