Высоты в остроугольном треугольнике

В любом треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке. Все высоты в остроугольном треугольнике лежат внутри треугольника (как и точка пересечения высот).

Задача.

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Доказать, что углы BB1C1 и BCC1 равны; углы B1C1С и BB1C равны.

vysoty-ostrougolnogo-treugolnikaДано: ΔABC — остроугольный,

BB1⊥AC, CC1⊥AB, BB1∩CC1=E

Доказать: ∠BB1C1=∠BCC1;

2)∠B1C1С=∠BB1C

Доказательство:

Около любого треугольника можно описать окружность. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Радиус такой окружности равен половине гипотенузы.

vysoty-ostrougolnogo-treugolnika-peresekayutsya-v-tochkeЦентр описанной около прямоугольного треугольника BB1C окружности лежит на середине гипотенузы BC, радиус этой окружности равен половине BC.

Центр описанной около прямоугольного треугольника BCC1 окружности — середина гипотенузы BC, радиус равен половине BC.

Значит эти треугольники вписаны в одну и ту же окружность.

Следовательно, точки B, C, B1 и C1лежат на одной окружности.

Отсюда:

∠BB1C1=∠BCC1 (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC1);

∠B1C1С=∠B1BC (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу B1C).

Что и требовалось доказать.

 

То есть решение такого рода задач начинаем с поиска прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.

2 Comments

  1. Андрей 11.05.2019 18:02 Ответить

    Здравствуйте!
    во втором случае: Угол ВВ1С — прямой, имелся в виду угол В1ВС, как опирающийся на дугу В1С

    • admin 12.05.2019 22:10 Ответить

      Спасибо, подкорректировала.

Добавить комментарий