Высоты равнобедренного треугольника к боковым сторонам

Свойство высот равнобедренного треугольника, проведенных из вершин при основании.

Высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.

vyisotyi ravnobedrennogo treugolnika k bokovyim storonam

 

Дано:

∆ ABC,

AC=BC

AP и BH — высоты.

 

Доказать: AP=BH

 

Доказательство:

vyisotyi treugolnika iz ravnyih uglov

 

Рассмотрим треугольники ACP и BCH.

1)  AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))

2) C — общий

APC=BHC=90º (так как AP и BH — высоты (по условию)).

Сумма углов треугольника равна 180º .

В треугольнике ACP

CAP=180º — (APC+C)=180º — 90º — C=90º — C.

В треугольнике BCH

CBH=180º — (BHC+C)=180º — 90º — C=90º — C.

Отсюда,

3) CAP=CBH.

Следовательно, треугольники ACP и BCH равны

(по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AP=BH.

Что и требовалось доказать.

 

Если в треугольнике два угла раны, то этот треугольник — равнобедренный (по признаку).

Если в треугольнике две стороны равны, то этот треугольник — равнобедренный (по определению).

Вывод:

Высоты, проведенные из равных углов треугольника, равны.

Высоты, проведенные к равным сторонам треугольника, равны.

 

Замечание.

Вместо треугольников ACP и BCH можно было доказать равенство треугольников ABP и BAH.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>