Внешне касающиеся окружности

Эти  утверждения могут быть полезны при решении задач на внешне касающиеся окружности.

Утверждение 1

Если две окружности с равными радиусами касаются внешним образом, то их общие внешние касательные параллельны.

Если две окружности с разными радиусами касаются внешним образом, то их центры и точка касания лежат на биссектрисе угла, образованного общими внешними касательными.

Утверждение 2

Если две окружности касаются внешним образом, то хорды, соединяющие точку касания этих окружностей с точками касания окружностей с их общей внешней касательной, пересекаются под прямым углом.

Утверждение 3

Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов.

 Утверждение 4

Если две окружности касаются внешне, то отрезки общих касательных равны между собой.

vneshne-kasayushchiesya-okruzhnostiПусть окружность с центром в точке O1  и радиусом R и окружность с центром в точке O2 и радиусом r касаются внешним образом в точке H;

AP и DP- общие внешние касательные, пересекающиеся в точке P,

A, B, C и D — точки касания окружностей с внешними касательными,

FK — общая внутренняя касательная,

PE — биссектриса угла APD.

Тогда O1, O2 и H ∈ PE,

∠AHB=90º,

    \[AB = CD = FK = 2\sqrt {Rr} \]

Кроме того

    \[AF = FB = CK = KD = FH = HK = \sqrt {Rr} ,\]

    \[tg\angle {\rm{KCM}} = \frac{{4\sqrt {Rr} (R - r)}}{{4Rr - {{(R - r)}^2}}}.\]

PA и PE — касательная и секущая, проведённые из одной точки. Значит,

    \[P{A^2} = PE \cdot PH,\]

    \[P{B^2} = PH \cdot PT.\]

Добавить комментарий