Угол между высотой и биссектрисой угла параллелограмма

Как найти углы параллелограмма, если известен угол между высотой и биссектрисой угла параллелограмма?

Задача 1

Угол между биссектрисой тупого угла параллелограмма и высотой, проведенной из той же вершины, равен α. Найти углы параллелограмма.

ugol-mezhdu-vysotoj-i-bissektrisojДано: ABCD — параллелограмм,

BH — высота, BF — биссектриса ∠ABC, ∠HBF=α

Найти: ∠A, ∠ABC, ∠C, ∠D

Решение:

Так как BH — высота параллелограмма, BH⊥BC, ∠HBC=90°.

Отсюда ∠FBC=∠HBC-∠HBF=90°-α.

Так как BF биссектриса — ∠ABC, ∠ABF=∠FBC=90°-α,

∠ABC=2·(90°-α)=180°-2α.

∠A+∠ABC=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD∥BC и секущей AB).

Следовательно, ∠A=180°-∠ABC=180°-(180°-2α)=2α.

Так как противолежащие углы параллелограмма равны, то

∠C=∠A=2α,

∠D=∠ABC=180°-2α.

Ответ: 2α, 2α,180°-2α, 180°-2α.

Задача 2

Угол между биссектрисой острого угла параллелограмма и высотой, проведенной из той же вершины, равен α. Найти углы параллелограмма.

ugol-mezhdu-vysotoj-i-bissektrisoj-parallelogrammaДано:ABCD — параллелограмм,

CH — высота, CF биссектриса — ∠BCD, ∠FCH=α

Найти: ∠A, ∠B, ∠BCD, ∠ADC

Решение:

Так как CH — высота параллелограмма, CH⊥BC, ∠BCH=90°.

Отсюда ∠BCF=∠BCH-∠FCH=90°-α.

Поскольку СF биссектриса — ∠BCD, ∠FCD=∠BCF=90°-α,

∠BCD=2·(90°-α)=180°-2α.

∠ADC+∠BCD=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD∥BC и секущей CD).

Следовательно, ∠ADC=180°-∠BCD=180°-(180°-2α)=2α.

∠A=∠BCD=180°-2α, ∠B=∠ADC=2α (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 2α, 2α,180°-2α, 180°-2α.

Таким образом, величины двух углов параллелограмма в два раза больше угла между биссектрисой и высотой, двух других — равны разности 180° и удвоенного угла между биссектрисой и высотой.

Добавить комментарий