Следствия теоремы косинусов

Рассмотрим два следствия теоремы косинусов.

Следствие 1

(свойство диагоналей параллелограмма)

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

    \[A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + A{D^2}\]

По свойству параллелограмма AB=CD, AD=BC.

Поэтому сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

    \[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})\]

sledstviya teoremyi kosinusov

 

 Дано:

ABCD — параллелограмм,

AC и BD — диагонали.

Доказать:

    \[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})\]

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник ABD.

По теореме косинусов:

    \[B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD.\]

2) Аналогично, из треугольника ADC

    \[A{C^2} = C{D^2} + A{D^2} - 2 \cdot CD \cdot AD \cdot \cos \angle ADC.\]

3) Сложим полученные равенства почленно:

    \[\begin{array}{l} A{C^2} + B{D^2} = 2{(A{B^2} + AD)^2}.\\ B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD\\ \underline {A{C^2} = C{D^2} + A{D^2} - 2 \cdot CD \cdot AD \cdot \cos \angle ADC} \\ A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} + C{D^2} + A{D^2} - \end{array}\]

    \[ - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD - \]

    \[ - 2 \cdot CD \cdot AD \cdot \cos \angle ADC.\]

4) По свойствам параллелограмма, AB=CD,

    \[\cos \angle BAD = \cos ({180^0} - \angle ADC) =  - \cos \angle ADC\]

поэтому

    \[A{C^2} + B{D^2} = 2A{B^2} + 2A{D^2} + \]

    \[ + 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle ADC - \]

    \[ - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle ADC\]

и

    \[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}).\]

Что и требовалось доказать.

Следствие 2.

sledstviya iz teoremyi kosinusov

 

    \[\cos \angle A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}}\]

 

Второе следствие теоремы косинусов непосредственно вытекает из нее:

    \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\]

    \[2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A = A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\]

    \[\cos \angle A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>