Общая хорда двух окружностей

Утверждение

Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.

obshchaya-horda-dvuh-okruzhnostej

Дано: окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B.

Доказать:

    \[AB \bot {O_1}{O_2}\]

Доказательство:

obshchaya-horda-okruzhnostej Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F.

Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2.

1) O1A=O1B=R;

2) AO2=BO2=r;

3) O1O2 — общая сторона.

Значит, ∆O1AO2=∆O1BO2 (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B.

Треугольник AO1B — равнобедренный с основанием AB (O1A=O1B=R). Следовательно, биссектриса O1F является также его высотой и медианой. Таким образом, 

    \[{O_1}F \bot AB.\]

Аналогично доказывается, что

    \[{O_2}F \bot AB.\]

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку F можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой AB.

Следовательно, центры окружностей O1, O2 и точка F лежат на одной прямой O1O2, а общая хорда окружностей перпендикулярна этой прямой:

    \[AB \bot {O_1}{O_2}.\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>