Найти наибольшую высоту треугольника

Как найти наибольшую или наименьшую высоту треугольника? Чем меньше высота треугольника, тем больше проведенная к ней высота. То есть наибольшая из высот треугольника — та, которая проведена к его наименьшей стороне. Наименьшая высота — та, которая проведена к наибольшей из сторон треугольника.

Чтобы найти наибольшую высоту треугольника, можно площадь треугольника разделить на длину стороны, к которой проведена эта высота (то есть на длину наименьшей из сторон треугольника).

Соответственно, для нахождения наименьшей высоты треугольника можно площадь треугольника разделить на длину его наибольшей стороны.

Задача 1.

Найти наименьшую высоту треугольника, стороны которого равны 7 см, 8 см и 9 см.

nayti naimenshuyu vyisotu treugolnika

 

Дано:

∆ ABC,

AC=7 см, AB=8 см, BC=9 см.

Найти: наименьшую высоту треугольника.

Решение:

Наименьшая из высот треугольника — та, которая проведена к его наибольшей стороне. Значит, нужно найти высоту AF, проведенную к стороне BC.

kak nayti naimenshuyu vyisotu treugolnika

 

Для удобства записи введем обозначения

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Высота треугольника равна частному от деления удвоенной площади треугольника на сторону, к которой эта высота проведена. Площадь треугольника по сторонам можно найти с помощью формулы Герона. Поэтому

    \[{h_a} = \frac{{2\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{a},\]

где

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2}.\]

Вычисляем:

    \[p = \frac{{7 + 8 + 9}}{2} = 12(cm),\]

    \[{h_a} = \frac{{2\sqrt {12(12 - 9)(12 - 7)(12 - 8)} }}{9} = \]

    \[ = \frac{{2\sqrt {12 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4} }}{9} = \frac{{2\sqrt {36 \cdot 5 \cdot 4} }}{9} = \]

    \[ = \frac{{2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt 5 }}{9} = \frac{{8\sqrt 5 }}{3}(cm).\]

Ответ:

    \[\frac{{8\sqrt 5 }}{3}cm.\]

Задача 2.

Найти наибольшую сторону треугольника со сторонами 1 см, 25 см и 30 см.

nayti naibolshuyu vyisotu treugolnika

 

Дано:

∆ ABC,

AC=25 см, AB=11 см, BC=30 см.

Найти:

наибольшую высоту треугольника ABC.

 

Решение:

kak nayti naibolshuyu vyisotu treugolnika

Наибольшая высота треугольника проведена к его наименьшей стороне.

Значит, нужно найти высоту CD, проведенную к стороне AB.

Для удобства обозначим

BC=a,

AC=b,

AB=c,

CD=hc.

    \[{h_c} = \frac{{2\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{c}.\]

Вычисляем:

    \[p = \frac{{30 + 25 + 11}}{2} = 33(cm),\]

    \[{h_c} = \frac{{2\sqrt {33(33 - 30)(33 - 25)(33 - 11)} }}{{11}} = \]

    \[ = {h_c} = \frac{{2\sqrt {33 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 22} }}{{11}} = \frac{{2\sqrt {3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11} }}{{11}} = \]

    \[ = \frac{{2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 2}}{{11}} = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 24(cm).\]

Ответ: 24 см.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>