Диагонали параллелограмма делят его площадь

На какие части диагонали параллелограмма делят его площадь?

Утверждение

Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликие части.

diagonali-delyat-ploshchad-parallelogrammaДано: ABCD — параллелограмм,

AC ∩ BD=O.

Доказать:

    \[{S_{\Delta AOB}} = {S_{\Delta BOC}} = {S_{\Delta COD}} = {S_{\Delta AOD}}\]

Доказательство:

1) Треугольники ABD и CDB равны по трём сторонам (сторона BD — общая, AD=BC и AB=CD как противоположные стороны параллелограмма).

Так как равные фигуры имеют равные площади, то

    \[{S_{\Delta ABD}} = {S_{\Delta CDB}}\]

2) Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам AO — медиана треугольника ABD, CO — CDB.

Поскольку медиана делит треугольник на две равновеликие части,

    \[{S_{\Delta AOB}} = {S_{\Delta AOD}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABD}}\]

    \[{S_{\Delta BOC}} = {S_{\Delta COD}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta CDB}}\]

Следовательно, диагонали параллелограмма делят его площадь на 4 равные части:

    \[{S_{\Delta AOB}} = {S_{\Delta BOC}} = {S_{\Delta COD}} = {S_{\Delta AOD}}\]

Что и требовалось доказать.

Задача

Площадь параллелограмма ABCD равна 36, O — точка пересечения диагоналей. Найти площадь треугольника AOB.

Решение:

Так как диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликие части, площадь треугольника AOB составляет четверть площади параллелограмма:

    \[{S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4} \cdot 36 = 9.\]

Ответ: 9.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>